Kopfrechnen leicht gemacht

Einleitung
Dividieren
Brüche
Addieren
  Multiplizieren
Prozentrechnung
Subtrahieren
Grosse Zahlen

 


 

Kopfrechnen

Einleitung


 

Kopfrechnen macht Spass

Sicher werden sich jetzt einige verwundert die Augen reiben. Kopfrechnen soll Spass machen? Die Schule liegt für viele schon weit zurück und die meisten haben sich daran gewöhnt, selbst kleinste Rechenaufgaben mit einem Taschenrechner zu lösen. Aus meiner Erfahrung mit Jugendlichen weiss ich, dass Kopfrechnen für einen grossen Teil von ihnen eher ein Martyrium, denn eine Freude ist. Da fangen die Schwierigkeiten schon beim kleinen Einmaleins an. Das, was wir Älteren in der Schule gepaukt haben, bis es unauslöschlich im Kopf sass und selbst nach Jahrzehnten noch blitzschnell abrufbar ist, scheint für einen Teil der Jugendlichen ein Buch mit sieben Siegeln. Es ist noch nicht all zu lange her, da fragte ich einen 16-jährigen danach, was bei 4 x 7 als Ergebnis kommt. Er schaute mich an und dann zählte er an den Fingern die 4 x 7. Selbst dann war sein Ergebnis noch falsch. Es ist also kein Wunder, wenn so viele bei Eignungstests durchfallen. Dabei ist es gerade bei Menschen, die etwas kaufen oder verkaufen von unschätzbarem Vorteil, bereits im Kopf bestimmte Dinge auszurechnen. Die nachfolgenden Tricks, sich das Kopfrechnen einfacher zu machen, funktionieren aber nur dann, wenn man sie sich einprägt. Also auch hier kommt man um einen gewissen Lernaufwand nicht herum. Allerdings ist das eine lohnende Investition für die Zukunft.

Multiplizieren

Beispiel 1: Wir multiplizieren eine beliebige Zahl mit 5.
Methode 1: 74 x 5 = (70 x 5) + (4 x 5)=370
Methode 2: 74 x 5 = 74 / 2 = 37 + 0 anhängen, wenn die Zahl ohne Rest teilbar
73 x 5 = 73 / 2 = 36,5 = Komma löschen = 365
Das funktioniert so mit allen Zahlen, die mit 5 multipliziert werden.

Schauen wir uns gleich mal eine vierstellige Zahl an:
7634 x 5 = 38 und 17 und 0 = 38170
Warum funktioniert das? 5 = die Hälfte von 10. Wenn wir also zuerst die Zahl x durch 2 teilen und dann eine Null anhängen, ist es ebenso, als würden x * 5 rechnen. Wir können also eine lange Zahl in 2er- Gruppen aufteilen und dann halbieren.
3678546224 = 36|78|54|62|24 = 18|39|27|31|12 + 0 !
Ganz ohne rechnen geht es, wenn wir eine grössere Zahl haben, die nur aus geraden Zahlen besteht.
4824688 * 5 = wir müssen gar nicht im Kopf teilen, sondern sehen auf einen Blick 2412344 + (0). Das geht schneller, als ich es hier hinschreiben kann!

Nun tun uns die Zahlen natürlich nicht den Gefallen, dass sie immer irgendwas mit 5 am Hut haben. Eine Art, ganz leicht zweistellige Zahlen bis (19 x 19) im Kopf zu rechnen (danach wird es etwas schwieriger), möchte ich jetzt an einem Beispiel zeigen.
17 * 13 = 221
17 + 3 = 20 (0)
7 * 3 = 21
200 + 21 = 221
nächste Aufgabe:
18 * 16 = 288
18 + 6 = 24 (0)
8 * 6 = 48
240 +48 = 288 !

Es gibt einen coolen Trick, wenn die Zehnerstellen eine 9 haben:
96 * 93 = 8928
6 + 3 = 9
80 + 9 = 89
89 * 100 = 8900
(10 - 6 = 4) * (10 - 3 = 7= 28
8900 + 28 = 8928 !
Als Formel würde das so aussehen:
((80 + 6 + 3) * 100) + ((10 - 6) * (10 - 3)) = 8900 + (4 * 7) = 8928
Ein anderer cooler Trick ist es, Schnapszahlen (das sind Zahlen wie 22, 111, 333, 7777 usw. mit der 9 malnehmen.
Als Beispiel nehmen wir uns eine vierstellige Schnapszahl: 8888 * 9
Wir nehmen die rechts stehende letzte 8 und multiplizieren sie mit der 9 = 72
Nunn lassen wir eine Lücke zwischen 7 und 2 und nehmen die drei restlichen 8, wandeln sie um in 9 und schieben sie dazwischen. Beispiel: 79992! Nächstes Beispiel: 6666 * 9 = 5 4 = 59994 !
Eine weitere schöne Sache ist, wenn beim Multiplizieren von zweistelligen Zahlen die Zehner gleich und die Einer zusammen 10 ergeben:
Beispiel: 43 * 47 = 4 * (4+1) = 20 und 3 * 7 = 21 = 2021!
Bei der Multiplikation einer zweistelligen Zahl mit 11 braucht man sich so lange nichts weiter merken, wie die Zahlen einstellig bleiben:
Beispiel: 72 * 11 = 7 (7+2) 2 = 792! Gibt es einen Überlauf, weil die addierte Zahl >10, dann ist das auch kein Problem.
Beispiel: 75 * 11 = 7 (7+5) 5 = 825!

Kreuzmultiplikation mehrstelliger Zahlen:
75 * 68 = 5100
AB * CD =
(A7 * D8) + (B5 * C6) * 10 =860
(A7 * C6) * 100 = 4200
(B * D) = 40
860 + 4200 + 40 = 5100
Zugegebenerweise muss man sich hier ne Menge merken. Allerdings macht auch hier wieder die Übung den Meister! Nun wollen wir es mit einer dreistelligen Zahl versuchen:
123 * 456 = (A1B2C3) * (D4E5F6)
3 * 6 = 8 (1)
(2 * 6) + (3 * 5) + (1) = 8 (2)
(1 * 6) + (2 * 5) + (3 * 4) + (2) = 0 (3)
(1 * 5) + (2 * 4) + (3) = 6 (1)
(1 * 4) + (1) = 5
Ergebnisse von unten nach oben: 56088 !

Wie sieht es nun mit dem Quadrieren zweistelliger Zahlen aus? Nichts einfacher als das.
Nehmen wir zuerst Zahlen, die als Einerstelle eine 5 haben. Das wären die Zahlen:
15 - 25 - 35 - 45 - 55 - 65 - 75 - 85 - 95
15² = (15 - 5) * (15 + 5) + 25 Also: 10 * 20 = 200 + 25 = 225
25² = (25 - 5) * (25 + 5) + 25 Also: 20 * 30 = 600 + 25 = 625
usw.
Quadratzahlen mit variabler Endung:
16² = 16 * 16 = (16 + 4) * (16 -4)+ 4² = (20 * 12) + 16 = 256
67² = 67 * 67 = (67 + 3) * (67 -3)+ 3² = (70 * 64) + 9 = (7 * 64 * 10) + 9 = 4489
Man könnte auch zuerst mit der 10 malnehmen, aber es rechnet sich einfacher zuerst mit der 7!
7 * 6 = 42 + (0) und 7 * 4 = 28 = 420 + 28 = 448 + (9) = 4489 !

Dividieren

Beispiel: Wir dividieren durch 5.
Dabei multiplizieren wir mit 2 und verschieben das Komma einfach um eine Stelle. Funktioniert ebenfalls mit allen Zahlen.
Beispiel: 235 / 5 = 235 x 2 = 470 = 47,0
andere Möglichkeit: 200 = 5 x 40 und 35 = 5 x 7 = 40 + 7 = 47

749 / 7 = (wir schauen uns die Zahl an und wissen, das Ergebnis muss dreistellig sein = 100 * 7) Es bleiben 49 übrig: = 7 * 7. Also lösen wir auf (100 * 7) + (7 * 7) = 107!

Prozente

Es gibt natürlich verschiedene Gelegenheiten, wo wir gern bestimmte Prozentzahlen im Kopf ausrechnen möchten. Wir lesen zum Beispiel bei einem Grosshändler: Ware Netto 100,00 Euro exclusive 19% Mehrwertsteuer. Was müssen wir also an der Kasse bezahlen? Bei 100 Euro fällt uns das Rechnen natürlich leicht: 100 Euro = 100% und 19% sind dann 19,00 Euro. Was aber sind 15% von 25 Euro? Wir rechnen zuerst 10%, halbieren die Summe und addieren sie zu den 10% hinzu.
Beispiel: 15% von 25 = 10% = 2,50 und 5% = 2,50 / 2 = 3,75 Euro!
Nun lesen wir:
Ware Brutto 119,00 Euro inclusive 19% Mehrwertsteuer.
Natürlich das jetzt kinderleicht, da ja ein Stück weiter oben das Netto steht und die 100 sich leicht rechnet. Allerdings geht es hier um den Rechenweg:
119 Euro / (100 + 19%) = 1% * 100 wenn man den Nettobetrag will, oder mal 19 wenn man wissen will, wie hoch die enthaltene Steuer ist.

Bruchrechnung

Viele Kinder und Jugendliche hatten schon in der Schule Schwierigkeiten, Brüche auf dem Papier auszurechnen. Das ist nun vorbei!
Zuerst müssen wir feststellen, was noch von früher im Gedächtnis geblieben ist. Was ist beispielsweise der Zähler und was der Nenner?
Die einfachste Art, sich das zu merken: Zähler (Lehrer) ist oben, Nenner (Schüler) ist unten!

Am besten lassen sich Brüche begreifen, wenn wir bildhafte Beispiele benutzen. Hier ein kleines Beispiel dazu:
Wie gewöhnlich veranstalten wir einmal im Monat einen "Weibertag". Unser Freundeskreis, der sich regelmässig trifft, besteht aus sieben Personen. Martha geht in die Konditorei und kauft eine Schwarzwälder Kirschtorte. Reni nimmt sie der ankommenden Martha aus der Hand, geht in die Küche und schneidet die Torte gleichmässig in sieben Teile. In diesem Fall sind sieben Teile ein Ganzes. Damit dürfte dann schon mal klar sein, dass Brüche immer Teile eines Ganzen darstellen. Da sich die anderen verspäten, essen Martha, Reni und Susanne schon ihr Stück Torte.

Das bedeutet, die Torte hat sich um 3 von 7 = 3 / 7 verringert. 4 von 7 = 4 / 7 sind noch für die Anderen vorhanden.

Brüche lassen sich übrigens gut erweitern, aber meist recht schwierig kürzen. Beispiel:
2 / 3 = 4 / 6 = Zähler x 2 und Nenner x 2!
Kürzen ist allerdings nicht mehr möglich! Anders sieht das Kürzen bei 14 / 21 aus = 14:7 = 2 und 21:7 = 3 = 2 / 3 ! Hätte also die Torte aus 21 Teilen bestanden und es wären noch 14 Stücke übrig, dann sagt man realistischerweise nicht, "es sind noch 14 / 21 Teile der Torte übrig", sondern: "Zwei Drittel der Torte sind noch da!"

Jetzt wollen wir Brüche addieren:
Dazu multiplizieren wir den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs.
Beispiel: 3 /4 + 1 / 5 = 3*5 und 1*4 = 15 + 4 = 19 = Zähler
Nun werden die beiden Nenner miteinander multipliziert:
Beispiel: 4 * 5 = 20 = Nenner = Summe = 19 /20 !

Nun wollen wir Brüche subtrahieren. Dazu multiplizieren wir wie beim Addieren über Kreuz:
Beispiel: 3/4 - 1/5 = 3*5 und 1*4 = 15 - 4 = 11 = Zähler
Nun werden die beiden Nenner miteinander multipliziert:
Beispiel: 4 * 5 = 20 = Nenner = Summe = 11/20!

Subtrahieren

Wenn wir mit zwei dreistelligen Zahlen arbeiten und versuchen, die eine von der anderen Zahl abzuziehen, dann merken wir, wie wir ins Rödeln kommen. Also müssen wir nach einer Möglichkeit der Vereinfachung suchen:
Beispiel: 473 - 285 = 473 - 300 + 15 = 188 oder:
473 - (200 - 80 - 5) = 273 - 80 = 193 - 5 = 188!
zweistellig: 78 - 54 = 78 - 50 = 28 - 4 = 24!

Addieren

Häufig möchte man schnell mehrere Werte im Kopf addieren. Ohne eine geeignete Methode tun wir uns aber schwer.
Beispiel: 78 + 54 = 78 + 50 = 128 + 4 = 132!
oder
Beispiel: 78 + 54 = 70 + 50 = 120 + 4 + 8 = 132!

Grosse Zahlen im Kopf multiplizieren und dividieren

Multiplizieren
Damit wir das einfach im Kopf rechnen können,
arbeiten wir mit Zehnerpotenzen.
Aus 10.000.000 x 50.000 wird
(10 x 10^6) x (5 x 10^4) = (10 x 10^10) x 5!
100.000.000.000 x 5 = 500 Milliarden

Dividieren
27.000.000 / 90.000 = (27 x 10^6) / (9 x 10^4)
(27 x 10^2) / 9 = 3^2 = 300!

So einfach kann das sein, wenn man weiss, wie!

Damit möchte ich dieses kleine Tutorial schliessen und wünsche Euch Geduld beim Erlernen der Regeln und gutes Gelingen in freier Wildbahn.


 
 

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copyright by cornelia warnke

cornelia warnke 12.3.2015

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